Nereti ir dzirdēts, ka brīvi krītoša monēta no augstceltnēm var būt letāla cilvēka dzīvībai. Tas tā noteikti ir, ja par monētu prototipu pieņemtu šo pasaulē lielāko monētu, kas ir aptuveni 78 cm diametrā, 12 cm bieza un sver 1000 kg (99.9 % tīrs zelts). Šādai monētai ir pat sava mājas lapa. Tomēr neiznīkstošās daudzu cilvēku pārliecības gadījumā ir ikdienā izmantojamas monētas. Piemēra labad lai tās būtu 2 latu monētas. Un izvēlētā augstceltne – Burj Khalifa jeb Kalifa Tornis Dubajā, kas ir šobrīd augstākā cilvēka veidotā celtne pasaulē ar augstumu 829.84 m. Jautājums šoreiz šāds:

Lai ieviestu skaidrību šajā situācijā, jāsāk ir ar vienošanos, ka cilvēka dzīvības apdraudējumu noteiks tas, cik ātri monēta kustēsies brīdī, kad sasniegs mūsu galvas. No ātruma var iegūt monētas spēku, ar kādu tā iedarbosies uz cilvēku. Precīzākam risinājumam vēl jāņem vērā tas, kā monēta trāpa cilvēkam – ar kanti, malu vai aversu (reversu). Šis patiesībā būtu tīri viegls vidusskolas fizikas uzdevums, ja ne problēma, ka skolā viss nav pateikts līdz galam vai tikai garām ejot pieminēts, proti, eksistē tāda fizikāla parādība kā gaisa pretestība, bet ar to stāsts beidzas.

Risinājuma izklāsta plāns (Pāriet uzreiz uz pēdējo nodaļu, ja nav vēlēšanās iedziļināties formulās):

Nepareizs atrisinājums “pēc skolas”

Skolā ķermeņa brīvais kritiens nozīmē, ka ķermenis krīt Zemes gravitācijas lauka iedarbībā, kas ir vienāds visur. Tas ir nekas cits kā Ņūtona vispasaules gravitācijas likums.  Šādā gadījumā netiek ņemts vērā berzes spēks, kas rodas atmosfēras daļiņu dēļ (sīkāk – mijiedarbība ar vēju, berzes spēks), gravitācijas lauka variācijas u.c. faktori, kas kopā var ienest lielas korekcijas atrisinājumā, bet par to vēlāk.

No Ņūtona otrā likuma (1) un smaguma spēka (2) var iegūt pārvietojuma un ātruma vienādojumu brīvā kritienā esošam ķermenim (3 un 4):

(1) \hspace{5 cm} F_{rez} = ma

(2) \hspace{5 cm} F_{g} = mg

(3) \hspace{5 cm} h(t) = h_{0} + v_{0}t - \frac{1}{2}gt^2

(4) \hspace{5 cm} v(t) = v_{0} + gt

Šeit F(rez) ir rezultējošais spēks, kas darbojas uz ķermeni, F(g) ir spēks (vienīgais spēks uzdevumā; nemainīgs laikā), ar kādu mijiedarbojas ķermenis un Zeme, m – ķermeņa masa, t – laiks, h – ķermeņa augstums virs Zemes laikā t, h(0) ķermeņa sākuma augstums virs Zemes, v(0) – ķermeņa sākuma ātrums (punktā h(0)), g – brīvās krišanas paātrinājums.

Tā kā ķermenis atrodas augstumā h(0) un tiek palaists vaļā, tad tam nav sākuma ātrums jeb v(0) = 0 m/s. Tāpat arī, kad ķermenis nokrīt līdz zemei, tad H = 0. Šādu pieņēmu rezultātā vienādojumi (3) un (4) pārvēršas par

(3) \hspace{5 cm} h_{0}=\frac{1}{2}gt_{b}^2

(4) \hspace{5 cm} v(t) = gt

No šiem vienādojumiem var izteikt un uzzināt, pirmkārt, laiku, cik ilgi kritīs ķermenis, un, otrkārt, ātrumu, kādu sasniegs ķermenis, kad sadursies ar Zemi.

t_{b}=\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}

v_{b}=gt_{b}=g \sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}=\sqrt{2h_{0}g}

Ja g=9.81 m/s/s, h(0)=829.94 un m=9.5g, tad beigu ātrums un spēks, ar kādu monēta iedarbojas uz cilvēku, ir

v_{b}=\sqrt{2 \cdot 829.94m \cdot 9.81 \frac{m}{s^2}}=127.61 \frac{m}{s}

F=\frac{\Delta mv}{\Delta t}=\frac{0.0095kg \cdot 127.61 \frac{m}{s}}{0.01s}=121.23 N

Šeit delta p – monētas impulsa izmaiņa, delta t – laiks, kurā notiek impulsa izmaiņa. Cilvēka ādas stiprības robeža ir 20 MPa, kas nozīmē, ka jāatrod monētas spēka iedarbības laukums uz cilvēka ādas, lai uzzinātu, kas varētu notikt.

P=\frac{F}{A}=\frac{121.23 N}{2 \cdot 5\cdot 10^{-6}m^2}=12.12 MPa

Lai arī impulsa izmaiņa, sadursmes laiks, mijiedarbības virsmas laukums ir paķerti kaut kādā mērā no zila gaisa, protams, neatmetot racionālu spriešanu, ir iegūts, ka 2 latu monēta visticamāk nespētu ādu pāršķelt, ja arī trāpītu ar sānu malu.
Jāņem vērā, ka šāds trieciens arī nav mazs, jo pasaulē stiprāko bokseru sitieni ar spiedienu  16 MPa. Ja bokseri var pārsist ādu tādās vietās kā uzacis, mutes apgabals, vaigu kauli, kur sitiens netiek tik ļoti amortizēts pret muskuļiem un tauku slāni, tad arī monēta pie nosacītiem apstākļiem šajā uzdevumā to varētu izdarīt, bet… bet atcerēsimies, ka šis ir skolas risinājums, jo viss vēl ir priekšā.

Pārejot pie ikdienišķākiem augstumiem, ir acīmredzams, ka nekas īpašs no tās monētas nebūs un dzīvību neapdraudēs. Ikdienišķs = kritīs no Pļavnieku blokmāju augstumiem. Citi piemēri – vīriešu tenisā pasaules ranga līderi vidēji (!) servē ar 53.6 m/s ātrumu; peintbolā no stobra izejošā šāviņa maksimālais atļautais ātrums grozās ap 83.3 m/s. Ar ļoti retiem izņēmumiem ir skaidrs, ka nekas bīstams nenotiks, ja trāpīs. Protams, šeit ir svarīgi salīdzināt masas, sadursmes laukumus, lai iegūtu spiedienus, bet tas tikai spēlētu par labu mīta apgāšanai.

Korektāks atrisinājums ar gaisa pretestību

Uzreiz saku, ka arī šis atrisinājums nebūs līdz galam precīzs. Kaut vai tāpēc, ka tuvinājumi un rupji pieņēmumi tika izdarīti jau iepriekšējā nodaļā.
Eksistē parādība, kas obligāti jāņem vērā un ko patiesībā labi zinām, – gaisa pretestība. Braucot lielā ātrumā ar velosipēdu arī bezvēja laikā, jūtam “vēju”, tāpat arī, izbāžot roka pa automašīnas logu un to visādi grozot,  jūtam, kā “vējš” ar to spēlējas – te stiprāk, te vājāk. Šis vējš ir gaiss un tā mijiedarbība ar objektu tajā. Jo ātrāk objekts centīsies izspraukties caur gaisu (tēlaini – šķidrums ar ļoti mazu blīvumu, bet tomēr blīvumu), jo sabiezētāks gaiss lokāli parādīsies objektam priekšā, radot tā saucamo gaisa pretestību. Tā ir pretestība objekta kustībai caur vidi jeb mūsu gadījumā gaisu.

Gaisa pretestība rada berzes spēku, kas komplicētākas fizikas dēļ netiks iztirzāts (kāpēc tieši tāds) un ir šāds:

\hspace{5 cm} F_{b}=\frac{1}{2}C \rho Av^2

Šeit C – berzes koeficients, ro – gaisa blīvums, A – efektīvais objekta šķērsgriezuma laukums, v – krišanas ātrums. Attēlā zemāk ir redzams, kādos virzienos darbojas divi uz objektu darbojošies spēki. Smaguma spēks ir konstants, bet berzes spēks visu laiku pieaugs, jo ir proporcionāls ātruma kvadrātam. Krišanas sākumā Fsm>Fb, tāpēc rezultējošais spēks objektu paātrina, piešķirot tam lielāku kinētisko enerģiju (ātrumu). Pēc kāda laika pieaugošā ātruma dēļ berzes spēks būs vienāds ar smaguma spēku. Šajā brīdī spēki viens otru kompensē, un nepastāv rezultējošais spēks, tāpēc objekts vairs nepaātrinās, bet kustas ar konstantu ātrumu, ko tajā brīdī sasniedzis un ko sauc par galējo ātrumu (terminal velocity).

Brīdī, kad F(sm)=F(b), no spēku superpozīcijas principa un otrā Ņūtona likuma izvedam:

\hspace{5 cm} F_{rez} = F_{sm} - F_{b}

\hspace{5 cm} 0 = F_{sm} - F_{b}

\hspace{5 cm} \frac{1}{2}C \rho Av^2 = mg

\hspace{5 cm} v=\sqrt{\frac{2mg}{C \rho A}}

Lai noteiktu mūsu 2 latu monētas galējo ātrumu, ir vēl jāzina gaisa blīvums, efektīvais šķērsgriezuma laukums un monētas berzes koeficients. Gaisa blīvums pie zemes virsmas 20*C temperatūrā ir 1.2 kg/m^3. Efektīvais šķersgriezuma laukums ir 543.25 mm^2 un berzes koeficients – 1.17 .

Rezultātā ir iegūts monētas galējais ātrums 15.63 m/s. Izdarot līdzīgus aprēķinus kā nodaļā, kur nebija gaisa pretestība, iegūstam monētas spiedienu – 1.49 MPa, kas nu jau ir drošā attālumā no cilvēka ādas stiprības robežas 20 MPa.

Citi aptuveni galējo ātrumu (gaisā) piemēri:

Cilvēkam – 60 m/s
Basketbola bumba – 20 m/s
Cilvēkam ar izpletni – 5 m/s

Interesanti

Citreiz bērēs, citreiz jaunajā gadā vai ar dajebkādu iemeslu cilvēki mēdz šaut ar ieročiem gaisā – kaut kur, kaut kā. Patiesība ir tāda, ka tas var izrādīties ļoti bīstami, jo lodēm ir mazs gaisa berzes koeficients (labas aerodinamiskās īpašības). Šaujot tieši virs galvas uz augšu, lode trajektorijas augšējā punktā apstāsies pilnībā. Pēc tam tā sāks krist un kādu brīdi haotiski rotēs un grozīsies, neskatoties uz to, ka tā ir aerodinamiski ļoti precīzi izveidota. Tikai pēc kāda laika tā varbūt ieņems konstantu pozīciju ar spico galu uz leju, tāpēc šādā gadījumā varētu arī izdzīvot. Un vēl vairāk – zem lodes atrodas pats šāvējs, tāpēc varēs pabēgt malā. Lielās problēmas sākas ar šaušanu leņķī līdz 90 grādiem pret zemi, kur lode trajektorijas augšējā punktā zaudē tikai ātruma vertikālo komponenti (kustas ne uz augšu, ne uz leju), bet nezaudē horizontālo (joprojām kustas uz priekšu). Šādi lode visu laiku var uzturēt savas aerodinamiskās īpašības un līdz ar to – iespējams nāvējošus ātrumus. Daudzās pilsētās pa visu pasauli ir regulējošie noteikumi, kas aizliedz šaut gaisā (arī brīdinājuma šāvienus). Tāpat notiek arī akcijas ar tipiskiem sloganiem “what goes up, must come down”. Piemēram, Losandželosā:

  • līdz gadam cietumā, ja gaisā izšauts kaut vienu reizi bez attaisnojoša pamatojuma;
  • kāda cilvēka nāves gadījumā tiek tiesāts par slepkavību;

Cits piemērs. Turcija, 2010. gads, līgavainis kāzās atklāj uguni ar AK47 triecienšauteni, svinot šo sev nozīmīgo dienu. Diemžēl, bet krītošo ložu dēļ trīs radinieki tika nogalināti, bet 13 ievainoti. Statistika ir grūti pieejama, jo grūti datus savākt un apkopot, bet šādi nelaimes gaidījumi ir ļoti daudz visā pasaulē – agrāk un arī tagad, ikdienā un svētkos.

Paskatoties, ko par šādu fizikas uzdevumu saka mana aroda kolēģi, sapratu, cik liela zinātne patiesībā šeit slēpjas. Un patiesus, bet tāpat tuvinātus atrisinājumus atrast var tikai skaitliski. Interesentiem iesaku apskatīties šādas publikācijas(pirmā un otrā), kas apskata dažādas objektu kustības (vienmērīgas, haotiskas, kūleņojošas (tumbling), periodiski oscilējošas) atkarībā no tādiem parametriem kā inerces moments un Reinoldsa skaitlis.

Rezumējums un nobeigums

Tipiskas monētas, ko izmantojam ikdienā, neapdraud mūsu dzīvību, lai arī no kurienes kritušas. Gaisa pretestība, ko rada atmosfērā esošās gāzes, ļoti ātri kompensē smaguma spēku, kas pievelk visus ķermeņus pie zemes, ļaujot monētām sasniegt tikai tādus galējos ātrumus, kas nevar cilvēka ādu pārsist vai kaulus iedragāt. Nelielu video materiālu piedāvā Mythbusters seriāls, kur ir izdarīti tie paši secinājumi.

Lai gūtu lielāku estētisko atrisinājumu baidījumu, uztaisīju šo animāciju reālajā laikā (ik pa 1 sekundi), kas iegūta atrisinot kustības diferenciālvienādojumus abos monētas krišanas uzdevumos:

Ir skaidri redzams, ka ņemot vērā gaisa pretestību monētas ātrums ir ļoti mazs un tiek sasniegts ļoti ātri.

Patiesu analītisku atrisinājumu krītošai patvaļīgai monētai, kas labi atbilstu patvaļīgiem eksperimentāliem rezultātiem, būtu grūti atrast, jo gaisa sastāvs ir mainīgs, tā blīvums ir mainīgs, brīvās krišanas paātrinājums patiesībā nav konstante un ir atkarīgs gan no augstuma virs zemes, gan platuma un garuma grādiem, gaisa spiediena izmaiņas rada vēju, kas ir kā vēl viens spēks otrajā Ņūtona likumā, ar ko jārēķinās. Realitātē, manuprāt, ir neiespējami risināt šādu uzdevumu arī skaitliski ar programmām. Un šīs nebūt nav visas problēmas, ko var uzskaitīt. Rezultātā atrisinājums monētas kustībai gaisā ir – haoss, kas ir pieminēts nodaļas “Interesanti” beigās. Un tikai speciālgadījumos tās kustība ir daudz maz prognozējama.

Skazis

Atstāj atbildi šeit

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Mainīt )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Mainīt )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Mainīt )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Mainīt )

Connecting to %s

%d bloggers like this: