No visuma un vakuuma nolaidīsimies uz Zemes. Attālums no viena punkta līdz otram ir viens no ikdienā visvairāk izmantotiem un saprotamiem fizikas terminiem: definīcija ir stabila, intuitīvi viegli saprotama, apzināmies drīzāk empīriski, nekā mums to kāds iemāca. Un eksperiments ir ļoti primitīvs – izmanto lineālu vai skaiti savus soļus (vispirms definējot soļa attālumu), vai neskaitāmi daudz citi varianti.
Krasta līnija ir svarīgs parametrs gan ģeogrāfijā, gan politikā. Būtu jocīgi, ja šis lielums nebūtu konstants. Un es nerunāju par procesiem ar ilgu periodu, piemēram, krasta erozija, smilšu migrācija, vai kaut ko ciklisku – paisumi un bēgumi. Jautājums šoreiz ir šāds:

Kādā no dažiem gadiem, kas nāca pēc 1951. gada, L. F. Ričardsons kara drošības, izpētes un jautājumu uzdevumā pētīja Portugāles un Spānijas robežu. Šī ir abstrakta robeža, jo to neskaitāmu notikumu rezultātā veidojis cilvēks (atceramies, piemēram, ASV un Kanādas robežu), bet tieši šis stāsts ir par pamatu krasta līnijas paradoksam jeb retāk – Ričardsona efektam.

Saturs:

Portugāļi bija paziņojuši, ka šī robeža ir 987 km gara, bet spāņi – 1214 km. Kā var tik ļoti atšķirties oficiāli rezultāti? Starpība ir 227 km, kas aptuveni ir attālums no Rīgas līdz Liepājai. Runājot par kara jautājumiem, šādu neprecizitāti pieļaut būtu riskanti. Tiec līdz teorētiskajam gala punktam, bet tad kāds pasaka: “Atvainojos, mums vēl 227 km jānoskrien. Tikai nedomā par to, ka grieķu ziņnesis šādā distancē paspēj 5 reizes nomirt (nomira pēc 41.195 km skrējiena no Maratonas kaujas).” Pētot sīkāk šo rezultātu nesaderību, Ričardsons nonāca līdz fenomenālam secinājumam, ka robežas garums ir atkarīgs no mērierīces garuma, piemēram, tiks iegūti 2 atšķirīgi rezultāti, ja tiks izmantots 1 m un 10 m lineāls. Iespējams, ka liela daļa cilvēku to intuitīvi apzinās un tas nešķiet nemaz tik fenomenāli kaut nedaudz patvaļīgākas ģeometrijas gadījumā, bet idejas paturpināšana tālāk gan – tiecinot lineāla izmēru uz nulli un veicot ekstrapolāciju, mēs iegūsim bezgalīgi garu robežu. Te nu gan kaut kas nav kārtībā. Kā var ierobežota laukuma virsmu ietvert bezgalīgi garš perimetrs? Aplūkosim Lielbritānijas robežu blakus redzamajā attēlā un trīs mēģinājumos to izmērīt.

  1. 200 km nogrieznis dod 2300 km
  2. 100 km nogrieznis dod 2800 km
  3. 50 km nogrieznis dod 3500 km

Tātad jautājuma atbilde ir: nē, krasta līnija nav konstants lielums. Tā ir atkarīga no mērījumā izmantotā garuma etalona un nav mērījuma kļūda, bet veids un princips, kā daba mums parādās. Protams, izņemot gadījumus, ja cilvēks dibina valsti, kuras robeža kartē ir perfekts kvadrāts. Būtu interesanti, bet vēlreiz atkārtošu, ka runa ir par dabiskām robežām. Arī cilvēka veidotām, ja tās ir nepiespiestas.

Fraktāļi

Atbildes skaidrojums ir meklējams ģeometrijā, ko skolās nemāca – fraktālģeometrija. Kā jau parasti, tas, ko nemāca skolā, patiesībā ir vispārīgāks un fundamentālāks. Mēs zinām par Eiklīda ģeometriju un risinājām ar to saistītos planimetrijas un stereometrijas uzdevumus, zinām par Ņūtona kustības likumiem, bet tie ir speciālgadījumi.

Ģeometrijā punktam piedēvē nulles dimensiju (0 D), taisne ir 1 D, virsma ir 2 D, bet tilpums 3 D. Tas ir skaidrs, bet kā izskatīties ģeometriskas formas ar dimensiju starp 1 un 2, starp 2 un 3 un citi varianti? Tie būs fraktāļi. Runājot par taisni un virsmu, intutitīvi, bet rupji tos var definēt kā līnijas, kas ir pārāk detalizētas, lai būtu taisnes, bet pārāk vienkāršas, lai būtu virsmas. Līnija ar dimensiju 1.1 būs kā taisne, bet ne gluži taisne, bet 1.9 D līnija būs kā virsma, bet ne gluži virsma. Un jautāt, cik gara ir fraktāļa līnija, var izrādīties tas pats, kas jautāt – cik garš ir kaut kādas virsmas, piemēram, taisnstūra laukums. Var iedomāties, ka visas virsmas, taisnes var sadalīt nogriežņos un punktos ar zināmām dimensijām, radot nesaprašanu, kas tās ir par neveselām dimensijām, bet šo nāksies pieņemt kā faktu – punkts ne obligāti ir elementārākā ģeometriskā vienība. Ģeometriskas konstrukcijas pamatā var būt arī sarežģītāks process. Vieglāk to raksturot ar piemēru.

Koča sniegpārsla

Tā ir līnija ar pēc patikas lielu (kaut vai bezgalīgu) perimetru, bet galīgu virsmas laukumu. Lai to izveidotu, ir jāveic 4 primitīvi soļi ar vienādmalu trijstūri:

  1. Katru mala sadala 3 vienādos nogriežņos;
  2. Uz katras malas vidējā no trīs nogriežņiem uzzīmē vienādmalu trijstūri ar spici uz āru;
  3. Noņem nost vidējos nogriežņus punktā 2;
  4. Atkārto punktus 1 līdz 3 pēc vajadzības daudz reižu (iterācijas).

Rezultātu redzam animācijā pa kreisi. Jāpievērš uzmanība, ka jau 7 interācijas rada mūsu skalā ģeometrisku objektu, kam nešķiet liels sakars ar kaut kādu vienādmalu trijstūri, tomēr pietuvinot jebkuru objekta daļu bezgalīgi ilgi (ja bija bezgalīgi daudz iterācijas), iegūstam vienu un to pašu ainu, ko sauc par fraktāļu pašlīdzību jeb skalas invarianci (attēls zemāk). Uzreiz rodas spēcīga analoģija ar matrjoškām. Tur arī parādās bezgalīgais perimetrs, ka, lai arī cik ļoti tuvāk gribētu paskatīties, mūžīgi ieraudzīsi jaunas un jaunas iterācijas, kas dos papildu artavu perimetrā, bet pirmo vienādmalu trijstūri vienmēr ierobežo riņķa līnija ar konstantu laukumu. Tātad iegūtās ģeometriskās konstrukcijas laukums nevar būt bezgalīgs. Tas, protams, kļūs nedaudz lielāks, nekā bija orģinālais trijstūris, bet tikai 1.6 reizes.

Realitāte

Šāda spēlēšanās ar fraktāļiem ir interesanta un nenoliedzami ļoti skaista (īpaši ar pseidokrāsām), bet atgriezīsimies realitātē. Cik ilgi samazināt mērīšanas skalu mēs varam? Teiksim, ka samazinām līdz cilvēka pēdas vidējam garumam – ļoti racionāli un empīriski. Iet līdz centimetram arī varam, bet kurš spēs kaut ko tādu mērīt? Kaut vai Rīgas teritorijas perimetru šādi ar pēdu izmērīt būtu katastrofa. Cilvēku bieži paglābj tas, ka realitātē fraktāļi nav bezgalīgi pašlīdzīgi dažādu fizikālu iemeslu dēļ un ka daudzos gadījumos to perimetri konverģē uz kaut kādu lielumu. Intereses pēc vēl samazinām mērīšanas skalu – teiksim līdz atoma izmēriem. Šajā brīdī viss zaudē jēgu, jo spriest par protoniem, neitroniem, elektronu kā gludu un saprotamu garuma mērierīci vismaz es nevaru, pareizāk sakot, es uzskatu, ka tas nav iespējams. Lai nu kā, uztraukumam nav pamata, jo ikdienā veiktie mērījumi par to, cik tālu ir tāda un tāda pilsēta, cik tālu ir makdonalds, ja iet pa tādu ceļu, atbilst mūsu intuitīvai sajūtai par to, cik tas tālu ir un viss. Varbūt tas nav strikti matemātiski korekti, varbūt mēs to interpretējam laika ziņā (ASV bieži attālumu sastrēgumu dēļ mēra stundās un minūtēs), bet ikdienā cilvēkam ar to pietiek.

Nobeigums

Alberts Einšteis ir teicis: “As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality”. Ar to jāsaprot, ka, lai arī fizikas valoda ir matemātika, tomēr ir jāprot atdalīt realitāti no idealizācijas. Matemātiku var uzbūvēt pēc patikas interesantu un skaistu, bet ne vienmēr tā atbildīs fizikāliem novērojumiem, kas mums galu galā ir daudz svarīgāks process.

Attālums starp diviem punktiem ir strikti viendimensionāls mērījums, bet daba ir kompleksa un ne vienmēr pašlīdzīga neaptveramās skalās gan uz vienu, gan uz otru pusi, tas ir, aizejot atomu vai aizejot galaktiku līmenī. Lai to apjaustu, ir vērts apskatīt šo interkatīvo aplikāciju. Tas, ka mums tas traucē izmērīt un interpretēt kaut kādus kombinētus 1 D attālumus, dabai ir bijis – nebijis.

Skazis

Comments on: "Krasta līnijas paradokss" (3)

  1. Atļaušos iebilst pret formulējumu “konstants lielums”. Krasta līnijas garums, protams, nav konstants lielums reālajā dzīvē (erozija, paisums, bēgums), bet tas ir konstants lielums šajā diskusijā. Tas, ka kaut ko var dažādi izmērīt, nepadara šo kaut ko mazāk konstantu. Teiksim, ja krasta līnijas garums ir 200 zilonīši, tie vienmēr būs konstanti 200 zilonīši, pat tad, ja mērot ar krokodiliem, tie būtu 250 krokodili.

  2. Atļauties, protams, vajag, bet arī izlasīt visu kārtīgi. Es tieši tāpēc sākumā rakstīju

    [quote]”Krasta līnija ir svarīgs parametrs gan ģeogrāfijā, gan politikā. Būtu jocīgi, ja šis lielums nebūtu konstants. Un es nerunāju par procesiem ar ilgu periodu, piemēram, krasta erozija, smilšu migrācija, vai kaut ko ciklisku – paisumi un bēgumi.”[/quote]

    lai pateiktu, ka es runāju par momentānu mērījumu. Ja krasta līniju var izmērīt un iegūt dažādus rezultātus, tad tas nav viens un tas pats objekts principā un tātad arī nav konstants principā (konstans ir, piemēram, elektrona lādiņš; tas ir kaut kas fundamentāls tik tālu, cik mēs dabu saprotam), lai gan saturs paliek, protams, tas pats. Un atkal šī iemesla dēļ es rakstīju

    [quote]”Lai nu kā, uztraukumam nav pamata, jo ikdienā veiktie mērījumi par to, cik tālu ir tāda un tāda pilsēta, cik tālu ir makdonalds, ja iet pa tādu ceļu, atbilst mūsu intuitīvai sajūtai par to, cik tas tālu ir un viss.”[/quote]

    Tātad summary ir tāds, ka es tev piekrītu, bet mani esi nesapratis vai nevēlējies iedziļināties pietiekami dziļi.

  3. Tātad izmantojot lielāku palielinājumu, mēs ieraugām arvien jaunu struktūru. Lai šo struktūru aprakstītu ar 1D attālumu, mums ir nepieciešami vairāk, bet mazāki etalona sadalījumi (tavi ziloniši, krokīši u.c.), kas rada objektīvu secinājumu, ka iepriekšējie struktūru neaprakstīja pietiekami precīzi. Bet precizitātes robežu, protams, var dabiski uzdot. Sportā tie ir milimetri, tehnoloģijās nanometri, zinātnē līdz pat mums interpretējamām teorētiskām robežām utt.
    Kā redzams no aptaujas, tad cilvēkiem tas loģiski vai intuitīvi pārsvarā ir skaidrs, bet vēstures liecības rāda, ka tas tā nav bijis vienmēr.

    Tu taču atlantā vai kur citur neredzi pie krasta līniju garumiem pieminētus visus iemeslus, kapēc peridoski tas var mainīties un nav konstants; tāpat arī precizitāti, ar kādu un kā izmērīts? Tieši tāpēc tas ir ikdienas paradokss, bet ne no zinātniskā viedokļa. Vēlāk, kad vai ja radīsies kāda ievērojama izmaiņa krasta līnijas garumā, to mainīs un rakstīs jaunu.

    Humoram:

Atstāj atbildi šeit

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Mainīt )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Mainīt )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Mainīt )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Mainīt )

Connecting to %s

%d bloggers like this: